Question

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，AD=3，求AE和BF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质结合勾股定理可求得AE，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
即$\frac{BF}{3}=\frac{4}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和平行线的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等、②两组边对应成比例且夹角相等、③三组边对应成比例的两个三角形相似．