Question

9．如图所示，线段AB=8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为4．

Answer 1

分析 如图作EH⊥AN于H，由△ABC≌△HCE得AB=CH，AC=EH，再证明△DCM≌△EHM得CM=HM即可解决问题．

解答 解：如图作EH⊥AN于H，
∵BA⊥AN，EH⊥AN，
∴∠BAC=∠EHC=90°，
∵∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠ECH=90°，
∴∠ABC=∠ECH，
∵△BCE和△ACD都是等腰三角形，
∴BC=CE，AC=DC，∠BCE=∠ACD=90°
在△ABC和△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠EHC}\\{∠ABC=∠HCE}\\{BC=CE}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△HCE，
∴AC=EH=CD，AB=CH，
在△DCM和△EHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EH}\\{∠DCM=∠EHM}\\{∠CMD=∠EMH}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△EHM．
∴CM=HM，
∴CM=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$AB=4．
故答案为4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法，属于中考常考题型．