Question

19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）

• A． 1.2
• B． 1.3
• C． 1.4
• D． 2.4

Answer 1

分析 先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．

解答 解：连结AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∴AP最短时，AP=2.4，
∴当PM最短时，PM=$\frac{1}{2}$AP=1.2．
故选A．

点评 此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键．