Question

【题目】如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l（其解析式为，且直线l与x轴所夹的锐角为45°）也随之移动，设移动时间为t秒．

（1）当时，求l的解析式；

（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

（3）求出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 6＜t＜9；(3) 2秒或3秒.

【解析】

(1)将P(0,4)代入解析式中即可求解；

(2)当直线l刚好经过M点时求出其与y轴的交点坐标，进而求出P点运动的路程，再除以速度进而得到时间；当直线l刚好经过N点时同样的方式求出时间，两个时间之间即为t的取值范围；

(3)作M点关于l的对称点M’，求出M’坐标，再分别令其横坐标和纵坐标为0，求出t的值.

解：(1)当时，此时P点的坐标为(0，5)，将(0，5)代入解析式中

得到：，解得：

故时，求l的解析式为：.

故答案为：.

(2)当直线l经过点时，将点代入解析式中

得到：，解得：，此时l的解析式为：

令，∴此时P点的坐标为

又∵运动的速度为1个单位每秒，故此时运动了7-1=6秒；

当直线l经过点时，将点代入解析式中

得到：，解得：，此时l的解析式为：

令，∴此时P点的坐标为

又∵运动的速度为1个单位每秒，故此时运动了10-1=9秒；

故当6＜t＜9时点M，N位于l的异侧.

故答案为：6＜t＜9.

(3) 作M点关于l的对称点M’，如下图所示：

连接MM’与x轴交于点F，直线l与x轴交于E点，直线l与MM’交于点H

则有MM’⊥HE，∴∠EHF=90°

∵直线l与x轴所夹的锐角为45°

∴∠MFE=90°-45°=45°

∴直线MM’解析式中的k=1，设MM’解析式为y=x+n，

代入点M(4,3)，解得n=-1

故直线MM’的解析式为：y=x-1

∴设点M’的坐标为()，

由H是M和M’的中点可知：

H点坐标为，即H

情况一：当M’位于x轴上时，即，即时，

求得H点坐标为(

又H点在直线l上，故将H点坐标代入直线l的解析式中

求得，此时l的解析式

∴此时P点坐标为(0,4)

故时间t=(4-1)÷1=3秒；

情况二：当M’位于y轴上时，即时

求得H点坐标为(

又H点在直线l上，故将H点坐标代入直线l的解析式中

求得，此时l的解析式

∴此时P点坐标为(0,3)

故时间t=(3-1)÷1=2秒；

故答案为：2秒或3秒.