【题目】如图1,抛物线y= 2+b+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点,N是抛物线的顶点,求MN的长;
(3)设点P是(1)中的抛物线的一个动点,是否存在满足S△PAB=8的点P?如存在请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 备用图
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)1;(3)当P点的坐标分别为(1+2,4)、(1﹣2,4)、(1,﹣4)时,S△PAB=8.
【解析】试题分析:(1)把点A、B的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数b、c的方程组,通过解方程组求得它们的值即可;
(2)结合抛物线的解析式得到点C、N的坐标,利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式,由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可;
(3)根据P点在抛物线上设出P点,然后再由S△PAB=8,从而求出P点坐标.
试题分析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(﹣1,0),B(3,0),
∴,解之得,
∴所求抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)由(1)知,该抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3,则C(0,﹣3).
又∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴N(1,﹣4).
设直线BC的解析式为y=kx﹣3(k≠0).
把B(3,0)代入,得0=3k﹣3,解得k=1,
则该直线解析式为:y=x﹣3.
故当x=1时,y=﹣2,即M(1,﹣2),
∴MN=|﹣3|﹣|﹣2|=1.即MN=1;
(3)设点P的坐标为(x,y),由题意,得S△PAB=×4×|y|=8,
∴|y|=4, y=±4.
当y=4时,x2﹣2x﹣3=4,
∴x1=1+2,x2=1﹣2,
当y=﹣4时,x2﹣2x﹣3=﹣4,
∴x=1,
∴当P点的坐标分别为(1+2,4)、(1﹣2,4)、(1,﹣4)时,S△PAB=8.
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【题目】如图,,,.动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动,且过点P的直线l(其解析式为,且直线l与x轴所夹的锐角为45°)也随之移动,设移动时间为t秒.
(1)当时,求l的解析式;
(2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围;
(3)求出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平行四边形中,点是对角线的中点,点是上一点,且,连接并延长交于点,过点作的垂线,垂足为,交于点.
(1)求证:;
(2)若,解答下列问题:
①求证:;
②当时,求的长.
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【题目】如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40°得到△A1BC1,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
求证:ΔBCF≌ΔBA1D.
当∠C=40°时,请你证明四边形A1BCE是菱形.
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【题目】某校初三(1)班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,收集整理数据后,老师将减压方式分为五类,并绘制了图1、图2两个不完整的统计图,请根据图中的信息解答下列问题.
(1)初三(1)班接受调查的同学共有多少名;
(2)补全条形统计图,并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数;
(3)若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生;老师想从5名同学中任选两名同学进行交流,直接写出选取的两名同学都是女生的概率.
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【题目】已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,禁止捕鱼期间,某海上稽查队在某海域巡逻,上午某一时刻在A处接到指挥部通知,在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船,正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行,稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发,在C处成功拦截捕鱼船,求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.
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【题目】如图
(1)如图1,学校A,B在道路MN的异侧.在MN上建公交站P,使得P到A,B的距离相等。利用尺规作图确定P的位置.
(2)如图2,学校C,D在道路MN的同侧,在MN上建公交站Q,使得Q到C,D的距离的和最短.利用网格确定Q的位置.
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