Question

【题目】如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点．

（1）求证：；

（2）若，解答下列问题：

①求证：；

②当时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．

【解析】

（1）证明≌可得，再结合平行四边形对边相等即可得到结论；

（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA，由此可得AB=BG；②过G作GN⊥BC于N，证明≌，可求得BM，再根据等腰三角形三线合一即可求得BE，从而求得DF．

（1）∵四边形是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

,

∵点是对角线的中点，

∴AO=CO，

在和中，

，

∴≌，

,

．

（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，

则∠AMB=∠AME，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=45°，
∵AB=AE，
，
∵AE⊥BG，
∴∠AHK=90°=∠BMK，又∠AKH=∠BKM，
∴∠MAE=∠CBG，
设∠BAM=∠MAE=∠CBG=α，则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCB+∠GBC=45°+α，
∴∠BAG=∠BGA，

∴AB=BG；

②过G作GN⊥BC于N，

∴∠BNG=∠GNC=90°，

∵∠ACB=45°，
∴∠NGC =45°，

∴NG=NC，

在和中，

,

∴≌,

,

在Rt△NGC中，

根据勾股定理，

,

．