Question

17．如图所示，六边形ABCDEF是正六边形，且与六边形A′B′C′D′E′F′相似，如果A′、B、′C′、D′、E′、F′分别在AB′、BC′、CD′、DE′、EF′、FA′上，求证：△ABB′≌△BCC′≌△CDD′≌△DEE′≌△EFF′≌△FAA′．

Answer 1

分析 根据六边形ABCDEF是正六边形，且与六边形A′B′C′D′E′F′相似，于是得到∠A′B′C′=∠B′A′F′=∠BAF=120°，求得∠ABB′=∠A′AF，推出△ABB′≌△FAA′，于是得到结论．

解答 证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，且与六边形A′B′C′D′E′F′相似，
∴∠A′B′C′=∠B′A′F′=∠BAF=120°，
∴∠AB′B=∠FA′A=60°，
∠FAB′+∠BAB′=∠ABB′+∠BAB′=120°，
∴∠ABB′=∠A′AF，
∵AB=AF，
在△ABB′与△FAA′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABB′=∠FAA′}\\{∠BB′A=∠AA′F}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABB′≌△FAA′，
同理：△ABB′≌△BCC′≌△CDD′≌△DEE′≌△EFF′≌△FAA′．

点评 本题考查了全等三角形的判定，正六边形的性质，相似多边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．