已知关于x的一元二次方程x2+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有实数根.k为正整数．(1)求k的值,(2)当此方程有两个非零的整数根时.将关于x的二次函数y=x2+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象向下平移9个单位.求平移后的图象的表达式,的条件下.平移后的二次函数的图象与x轴交于点A.B.直线y=kx+b过点B.且与抛物线的另一个交� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围．

分析（1）根据方程有实数根可得△≥0，求出k的取值范围，然后根据k为正整数得出k的值；
（2）根据方程有两个非零的整数根进行判断，得出k=3，然后得出函数解析式，最后根据平移的性质求出平移后的图象的表达式；
（3）令y=0，得出A、B的坐标，作出图象，然后根据新函数的最小值大于-5，求出C的坐标，然后根据B、C的坐标求出此时k的值，即可得出k的取值范围．

解答解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有实数根，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$≥0，
∴k-1≤2，
∴k≤3，
∵k为正整数，
∴k的值是1，2，3；
（2）∵方程有两个非零的整数根，
当k=1时，x²+2x=0，不合题意，舍去，
当k=2时，x²+2x+$\frac{1}{2}$=0，
方程的根不是整数，不合题意，舍去，
当k=3时，x²+2x+1=0，
解得：x₁=x₂=-1，符合题意，
∴k=3，
∴y=x²+2x+1，
∴平移后的图象的表达式y=x²+2x+1-9=x²+2x-8；
（3）令y=0，x²+2x-8=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），
∴A（-4，0），B（2，0），
∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，
∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于-5，
令y=-5，即x²+2x-8=-5，
解得：x₁=-3，x₂=1，（不合题意，舍去），
∴抛物线经过点（-3，-5），
当直线y=kx+b（k＞0）经过点（-3，-5），（2，0）时，
可求得k=1，
由图象可知，当0＜k＜1时新函数的最小值大于-5．

点评本题考查了二次函数的综合应用，涉及了根的判别式，图象的平移，二次函数的交点问题等知识，解答本题的关键是根据图象以及函数解析式进行分析求解，难度一般．

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