Question

19．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，且点B（a+1，0），C（b，0）都在平面直角坐标系的x轴上，如图所示，且满足a²+b²-10a+4b+29=0，点D为射线AC上一动点且纵坐标为m，以BD为斜边，按顺时针顺序作△BDE，使∠DEB=90°，EB=ED．
（1）求点B、C的坐标；
（2）如图，当点D在线段AC上时，试求出点E坐标（用含m的式子表示）；
（3）在点D运动过程中，取线段AD的中点F，连接EF，是否存在这样的点D，恰使EF=2CD？若存在，求出符合条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点B（a+1，0），C（b，0）都在平面直角坐标系的x轴上，且满足a²+b²-10a+4b+29=0，可求得a，b的值，从而求得点B、C的坐标；
（2）根据∠DEB=90°，EB=ED，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（-2，0），点D为射线AC上一动点且纵坐标为m，可以确定点D的坐标，然后作辅助线EG⊥x轴于点G，DF⊥EG于点F，然后根据题目中各点的坐标，设出点E的坐标（x，y），再根据图形和各点的坐标，列出方程组，从而得到用含m的式子表示表示点E的坐标；
（3）根据题目中的信息和第二问中求得的点E的坐标进行推导，可以得到使得EF=2CD时，点D的坐标．

解答 解：（1）∵a²+b²-10a+4b+29=0，
∴（a-5）²+（b+2）²=0．
∴a-5=0，b+2=0．
解得，a=5，b=-2．
∴点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（-2，0）．
（2）如下图所示：作EG⊥x轴于点G，DF⊥EG于点F．

设点E的坐标为（x，y）．
∵∠DEB=90°，EB=ED，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（-2，0），点D为射线AC上一动点且纵坐标为m，
∴点D的坐标为（-2，m）．
∴∠EFD=∠BGF=90°，DE=BE，∠DEF=∠EBG．
∴△DEF≌△EBF．
∴EF=BG，BF=EG．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-（-2）=y}\\{y-m=6-x}\end{array}\right.$．
解得，$x=\frac{4+m}{2}，y=\frac{8+m}{2}$．
故点E的坐标为（$\frac{4+m}{2}，\frac{8+m}{2}$）．
（3）存在这样的点D，恰使EF=2CD．
第一种情况：当点D在x轴上方时，如下图所示：取AD的中点F，连接EF，作EG⊥AD于点G．

∵点A的坐标为（-2，8），点D的坐标为（-2，m），点E的坐标为（$\frac{4+m}{2}，\frac{8+m}{2}$），点C的坐标为（-2，0），
∴CD=m，GE=$\frac{4+m}{2}-（-2）$=$\frac{8+m}{2}$，GF=$\frac{8+m}{2}-（\frac{8-m}{2}+m）=0$．
∴此时GE与EF重合，EF=GE=$\frac{8+m}{2}$．
∵EF=2CD，
∴$\frac{8+m}{2}=2m$．
解得，m=$\frac{8}{3}$．
∴点D的坐标为（-2，$\frac{8}{3}$）．
第二种情况：当点D在x轴下方时，如下图所示：

作EI⊥AC于点I，EH⊥x轴于点H，DG⊥EH交EH的延长线于点G，
∵点A的坐标为（-2，8），点D的坐标为（-2，m），点C的坐标为（-2，0），点F为AD的中点，
∴点F的坐标为（-2，$\frac{8+m}{2}$）．
设E点的坐标为（x，y），
∵EB=ED，∠EID=∠EGD=∠EHB=90°，
∴△EID≌△EGD≌△EHB．
∴EI=EH，DI=BH．
又∵EF=2CD，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-（-2）=y}\\{y-m=6-x}\\{-2m=\sqrt{（x+2）^{2}+（y-\frac{8-m}{2}）^{2}}}\end{array}\right.$
解得，x=1.2，y=3.2，m=-1.6．
∴点D的坐标为：（-2，-1.6）．

点评 本题考查根据关系式求值的问题，可以根据题目中的信息，用代数式表示别的量的知识，根据题目中的信息进行探索结论的相关知识，关键是根据题目中的信息画出符合要求的图形，然后根据题目中的信息结合图形进行正确分析，进而求得所要解答的问题．