Question

10．已知关于x的二次函数y=x²-（2k-1）x+k²+1与x轴有2个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，且它们的倒数之和是-$\frac{3}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=x²-（2k-1）x+k²+1的图象与x轴有两交点，得出x²-（2k-1）x+k²+1=0时，有两个不相等的实数根，从而可知△＞0，解不等式即可得出答案；
（2）由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²-（2k-1）x+k²+1的图象与x轴有两交点，
∴当y=0时，x²-（2k-1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b²-4ac=[-（2k-1）]²-4×1×（k²+1）＞0．
解得k＜-$\frac{3}{4}$；
（2）当y=0时，x²-（2k-1）x+k²+1=0．
则x₁+x₂，=2k-1，x₁•x₂=k²+1，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{2k-1}{{k}^{2}+1}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：k=-1或k=$\frac{1}{3}$（舍去），
∴k=-1．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、根与系数关系；解题关键是能将二次函数与一元二次方程建立关系，根据根的情况，可知△的值．