Question

8．如图，E是正方形ABCD的CD边上的一点，BF⊥AE于F，
（1）求证：△ADE∽△BFA；
（2）若正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，求△BFA的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角相等的两个三角形相似，即可证明△ADE∽△BFA；
（2）利用三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答．

解答 （1）证明：∵BF⊥AE于点F，四边形ABCD为正方形，
∴△ADE和△BFA均为直角三角形，
∵DC∥AB，
∴∠DEA=∠FAB，
∴△ADE∽△BFA；
（2）解：∵AD=2，E为CD的中点，
∴DE=1，
∴AE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵△ADE∽△BFA，
∴$\frac{{S}_{△BFA}}{{S}_{△ADE}}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{4}{5}$，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
∴S_△BFA=$\frac{4}{5}$S_△ADE=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟记相似三角形的判定是解决第（1）小题的关键；第（2）小题中，利用相似三角形的面积比是相似比的平方是解决此题的关键．