Question

如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，已知A（1，3），B（3，3），D（1，-1）．有两条抛物线l₁、l₂都经过A、B两点，且关于AB所在直线对称，其中抛物线l₁经过原点，抛物线l₂交y轴于点E．设P、Q两点分别在抛物线l₁、l₂上运动．
（1）求抛物线l₁的解析式．
（2）直接写出抛物线l₂的解析式．
（3）当四边形ADPQ为平行四边形时，求点P的横坐标．
（4）当点P运动到抛物线l₁的顶点时，设直线PQ的解析式y=kx+b．
①若直线PQ经过点D，交线段AB于F，求△ADF的面积．
②若直线PQ分得矩形ABCD较小部分的面积大于0且不超过矩形ABCD面积的，直接写出b的取值范围．
【参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（-，）】

Answer 1

解：（1）依题意，设抛物线l₁：y=ax²+bx，代入A（1，3），B（3，3），得：
，解得
∴抛物线l₁：y=-x²+4x．

（2）由（1）知，抛物线l₁的顶点（2，4），则抛物线l₂顶点（2，2）；
抛物线l₁、l₂关于直线AB对称，则抛物线l₂：y=-（x-2）²+2=x²-4x+6．

（3）当四边形ADPQ为平行四边形时，AD、PQ为平行四边形的边，则PQ∥y轴，且PQ=AD=4；
设P（x，-x²+4x），则Q（x，x²-4x+6），PQ=x²-4x+6-（-x²+4x）=2x²-8x+6
依题意，有：2x²-8x+6=4，解得x=2±
∴点P的横坐标为2±．

（4）由（2）知，点P的坐标（2，4）；
①直线PQ：y=kx+b，代入P（2，4）、D（1，-1），得：
，解得
∴直线PQ即直线PD：y=5x-6，点F（，3）；
∴S_△ADF=×（-1）×4=．
②由①的计算结果知，右图每个阴影部分的面积都“大于0且不超过矩形ABCD面积的”；
由P（2，4）、A（1，3）、D（1，-1）、C（3，-1）、B（3，3），可得：
直线PA：y=x+2，直线PD：y=5x-6；
直线PB：y=-x+6，直线PC：y=-5x+14；
因此，b的取值范围：-6≤b＜2或6＜b≤14．
分析：（1）抛物线l₁经过原点，可将其解析式设为y=ax²+bx，代入A、B两点的坐标后，利用待定系数法即可得解．
（2）抛物线l₁、l₂关于直线AB对称，那么它们的开口大小相同、开口方向相反（即二次项系数互为相反数），顶点关于直线AB对称；所以先根据l₁的顶点得到l₂的顶点坐标，再直接将抛物线l₂写成顶点式即可．
（3）“四边形ADPQ”说明了四边形的顶点排序，即：AD、PQ为平行四边形的边，所以AD∥PQ，且PQ=AD，因此PQ与y轴平行（P、Q两点横坐标相同），首先设出P、Q点的坐标，得到线段PQ长的表达式后，令其值等于AD长，通过解方程即可确定P点的坐标．
（4）①直线PQ经过点D，即P、Q、D三点共线，所以题干条件也可视为“直线DP与AB的交点为F”，所以先求出直线DP的解析式，直线AB的解析式易知，则F点坐标可得，以AD、DF为直角边，则△ADF的面积可求；
②通过①的答案不难发现：△ADF的面积恰好是矩形面积的，所以求出直线PA、PD、PB、PC的解析式后，再观察b的取值范围即可．
点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、轴对称图形的性质、平行四边形的判定、三角形的面积等重点知识；（3）题中，注意题干给出的四边形的顶点排序能大大减小计算难度；最后一题的难度较大，找出对应的四条直线是解题的关键，此外还用注意“不超过”包含的不等式关系．