Question

7．如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=a（x-2）（x+4）与直线y=$\frac{3}{4}$x+b交于A、B两点，点A在x轴正半轴上，点B的横坐标为-6．
（1）填空：A点坐标（2，0 ），b=-$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{3}{8}$；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①当△PDE的周长与△ADC的周长相等时，求点C的坐标并求出此时△PDE的周长；
②设点Q为y轴上一点，G为坐标系内一点，作矩形PAQG．随着点P的运动，矩形的大小、位置也随之改变．当矩形的邻边之比为1：4时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先由交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）、（-4，0），即A（2，0），再将A点坐标代入y=$\frac{3}{4}$x+b可解得b=-$\frac{3}{2}$，则直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，接着利用一次函数图象上点的坐标特征确定B（-6，-6），然后将B坐标代入抛物线解析式求出a即可；
（2）①直线AB与y轴的交点为M，如图1，则M（0，-$\frac{3}{2}$），AM=$\frac{5}{2}$，设P（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），则PD=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，C（x，0），先证明△AOM∽△ACD得到AD=$\frac{5}{4}$（2-x），再证明Rt△ACD∽Rt△PED，根据相似三角形的性质，当△PDE的周长与△ADC的周长相等时，Rt△ACD≌Rt△PED，所以AD=PD，即-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{4}$（2-x），解得x₁=-$\frac{8}{3}$；x₂=2（舍去），于是得到C点横坐标为-$\frac{8}{3}$，然后利用△PDE周长=△PCD的周长=AC+CD+AD=2-x-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{4}$（2-x）=6-3x进行计算；
②分类讨论：当点P在x轴上方，如图2，作PH⊥x轴于H，设P（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），易得Rt△PAH∽Rt△AQO，则$\frac{PH}{OA}$=$\frac{PA}{AQ}$，当PA：AQ=4：1时，PH=4OA=8（不合题意舍去），当PA：AQ=1：4时，PH=$\frac{1}{4}$OA=$\frac{1}{2}$，即y=$\frac{1}{2}$，即-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{1}{2}$，即得x₁=$\frac{-3+\sqrt{69}}{3}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{69}}{3}$；当点P在x轴下方时，如图3，用同样方法可求得P（$\frac{-3-\sqrt{93}}{3}$，-$\frac{1}{2}$），于是得到满足条件的P点坐标为（$\frac{-3+\sqrt{69}}{3}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{69}}{3}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{93}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）∵抛物线解析式为y=a（x-2）（x+4），
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）、（-4，0），即A（2，0），
将A（2，0）坐标代入y=$\frac{3}{4}$x+b，解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
当x=-6代入y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$=-6，
∴B（-6，-6）
将B（-6，-6）代入抛物线解析式得-6=a（-6-2）（-6+4），解得：a=-$\frac{3}{8}$，
∴y=-$\frac{3}{8}$（x-2）（x+4）=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3；
故答案为2，-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{8}$；
（2）①直线AB与y轴的交点为M，如图1，M（0，-$\frac{3}{2}$），AM=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，、
设P（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），则PD=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，C（x，0），
∵OM∥PD，
∴△AOM∽△ACD，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{AD}$=$\frac{2}{2-x}$，AD=$\frac{5}{4}$（2-x）
∵∠PDE=∠ADC，
∴Rt△ACD∽Rt△PED，
∵△PDE的周长与△ADC的周长相等，
∴Rt△ACD≌Rt△PED，
∴AD=PD，即-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{4}$（2-x），
整理得3x²+2x-16=0
解得：x₁=-$\frac{8}{3}$；x₂=2（舍去），
∴C点横坐标为-$\frac{8}{3}$，
△PDE周长=△PCD的周长=AC+CD+AD=2-x-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{4}$（2-x）=6-3x=6-3×（-$\frac{8}{3}$）=14；
②当点P在x轴上方，如图2，作PH⊥x轴于H，设P（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），
∵四边形APGQ为矩形，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAH=∠AQO，
∴Rt△PAH∽Rt△AQO，
∴$\frac{PH}{OA}$=$\frac{PA}{AQ}$，
当PA：AQ=4：1时，PH=4OA=8（不合题意舍去），
当PA：AQ=1：4时，PH=$\frac{1}{4}$OA=$\frac{1}{2}$，即y=$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{1}{2}$，即得x₁=$\frac{-3+\sqrt{69}}{3}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{69}}{3}$，此时P点坐标为（$\frac{-3+\sqrt{69}}{3}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{69}}{3}$，$\frac{1}{2}$）；
当点P在x轴下方时，如图3，用同样方法可求得P（$\frac{-3-\sqrt{93}}{3}$，-$\frac{1}{2}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（$\frac{-3+\sqrt{69}}{3}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{69}}{3}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{93}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似三角形的判定与性质解决几何计算；会解一元二次方程．