Question

8．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=$4\sqrt{3}$．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．
（1）求OA的长；
（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为$2\sqrt{2}$，直接写出∠BAF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；
（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．

解答 解：（1）∵OC⊥AB，AB=$4\sqrt{3}$，
∴AD=DB=2$\sqrt{3}$，
∵∠E=30°，
∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，
∴OA=$\frac{AD}{sin60°}$=4；
（2）如图，作OH⊥AF于H，
∵OA=4，OH=2$\sqrt{2}$，
∴∠OAF=45°，
∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，
则∠BAF′=∠OAF′-∠OAB=15°，
∴∠BAF的度数是75°或15°．

点评 本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．