Question

16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时        
（1）若CE⊥BD于E，
①∠ECD=22.5°；
②求证：BD=2EC；
（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点．当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？若在，请证明，若不在；请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先运用三角形内角和定理，得出∠ABD=∠ECD，再根据∠ABD=22.5°，得到∠ECD=22.5°；②延长CE交BA的延长线于点G，通过判定△ABD≌△ACG，得出BD=CG=2CE即可；
（2）连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP=∠QPC=22.5°，进而得出△PQC中，∠PQC=135°；在四边形QNBM中，根据QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，得到∠MQN=135°，进而得到∠NQC=∠MQP，根据AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM=QN，最后根据角平分线的性质定理的逆定理，得出点Q一定在射线BD上．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ECD，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=22.5°，
∴∠ECD=22.5°；
故答案为：22.5．

②如图，延长CE交BA的延长线于点G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=GE，
在△ABD与△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠ACG}\\{∠BAC=∠CAG}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD=CG=2CE；

（2）点Q一定在射线BD上，
理由：如图，连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF为∠PFC的角平分线，△CPF为等腰直角三角形，
∴QF为PC的垂直平分线，
∴PQ=QC，
∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，
∴CQ平分∠FCP，
∵△CPF为等腰直角三角形，
∴∠FCP=∠FPC=45°，
∴∠QCP=∠QPC=22.5°，
∴△PQC中，∠PQC=135°，
∵在四边形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠MQN=135°，
∴∠MQN=∠PQC，
∴∠NQC=∠MQP，
又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，
∴△QPM≌△QCN（AAS），
∴QM=QN，
又∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴点Q一定在射线BD上．

点评 本题主要考查了三角形的综合应用，解题时需要运用三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质等知识．解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．解题时注意：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．