Question

【题目】如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，利用此图:

(1)作一个平行四边形AMBN，使A、B两点都在直线PQ上(只保留作图痕迹，不写作法)

(2)根据上述经验探究:在□ ABCD中，AE上CD交CD于E点，F为BC的中点，连接EF、AF，试猜想EF与AF的数里关系，并给予证明.

(3)若∠D=60°,AD=4,CD=3，求EF的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) EF＝AF,理由见解析；(3)

【解析】

（1）利用平行四边形的判定即可作出图形；
（2）先判断出△ABF≌△GCF，得出AF=GF，进而判断出四边形ABGC为平行四边形，最后用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可；
（3）先根据勾股定理求出AE，再由平行四边形的性质得出GE，最后勾股定理求出AG，最后用直角三角形的性质即可．

(1)如图1所示，四边形AMBN是所求作的平行四边形，

（2）结论：EF＝AF，

理由：如图2，延长AF交DC的延长线于点G，连接BG，AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAF＝∠CGF，

∵点F是BC的中点，

∴BF＝CF，

在△ABF和△GCF中，，

∴△ABF≌△GCF，

∴AF＝GF，

∵BF＝CF，

∴四边形ABGC为平行四边形，

∴AF＝GF，

∵AE⊥DC，

在Rt△AEG中，EF是斜边AG上的中线，

∴EF＝AF＝AG；

（3）在Rt△AED中，∠D＝60°，AD＝4，

∴DE＝AD＝2，由勾股定理得，AE＝，

由（2）知，在平行四边形ABGC中，CG＝AB＝CD＝3，

∴GE＝CG+CE＝4，

在Rt△AEG中，AG＝，

∴EF＝．