Question

5．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O，B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．
（1）写出点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）连接DN交BC于点F，连接FM，将△DCF绕点D顺时针旋转90°得△DOA，线段OM、CF、MF有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可以得出OB=BC=OD就可以求出点C的坐标；
（2）在OD上取一点G，使OG=OM，就可以得出DG=BM，从而得出△GDM≌△BMN，就可以得出结论；
（3）由旋转可以得出△FCD≌△AOD，就可以得出OA=FC，∠ADM=∠CDM，进而得出△DMA≌△DMF，就可以得出AM=FM而得出结论．

解答 解：（1）∵四边形OBCD是正方形，
∴OB=BC=OD，∠DOB=∠OBC=∠C=90°．
∵D（0，2），
∴OD=2，
∴OB=BC=OD=2，
∴C（2，2）；

（2）在OD上取一点G，使OG=OM，
∴∠OGM=∠OMG=45°，
∴∠DGM=135°．
∵OD=OB，
∴OD-OG=OB-OM，
∴GD=BM．
∵MN⊥DM，
∴∠DMN=90°，
∴∠DMO+∠NMB=90°．
∵∠DMO+∠ODM=90°，
∴∠ODM=∠BMN．
∵BN平分∠CBE，
∴∠NBE=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DGM=∠MBN．
在△GDM和△BMN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGM=∠MBN}\\{GD=BM}\\{∠ODM=∠BMN}\end{array}\right.$，
∴△GDM≌△BMN（ASA），
∴MD=MN；

（3）OM+CF=MF
理由：∵MD=MN，∠DMN=90°，
∴∠MDN=45°，
∴∠ODM+∠FDC=45°．
∵△DCF绕点D顺时针旋转90°得△DOA，
∴△DCF≌△DOA，
∴AO=FC，∠ADO=∠FDC，AD=FD．
∴∠ADO+∠MDO=45°，
即∠ADM=45°．
∴∠ADM=∠CDM．
在△DMA和△DMF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FD}\\{∠ADM=∠CDM}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴△DMA≌△DMF（SAS），
∴AM=FM．
∵AM=AO+MO，
∴AM=CF+MO，
∴OM+CF=MF．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．