Question

等边三角形ABC中，AD是高，∠ABC的平分线BH交AD于点O，E是AC边上的点，F是BC边上的点，且△OEF为等边三角形
（1）求证：△BDO≌△AHO；
（2）△CEF是等边三角形吗？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质即可证明AH=BD，即可证明△BDO≌△AHO；
（2）根据（1）中结论可得OD=OH，进而可以证明△ODF≌△OHE，即可证明DF=HE，即可证明△CEF为等边三角形．

解答：解：（1）∵等边三角形三线合一，
∴H，D为AC，BC中点，且AD⊥BC，BH⊥AC，BH平分∠ABC，AD平分∠BAC，
∴∠ABO=∠BAO，BD=AH，
∴AO=BO．
RT△OBD和RT△OAH中，

AO=BO AH=BD

，
∴RT△OBD≌RT△OAH；（HL）
（2）∵RT△OBD≌RT△OAH，
∴OD=OH，
∵等边△OEF中，OE=OF，
在RT△ODF和RT△OHE中，

OE=OF OD=OH

，
∴RT△ODF≌RT△OHE（HL），
∴DF=HE，
∴CE=CF，
∵∠C=60°，
∴△CEF是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证RT△OBD≌RT△OAH是解题的关键．