【题目】如图,已知一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(﹣1,2)和点B,点C在y轴上.
(1)当△ABC的周长最小时,求点C的坐标;
(2)当x+b<时,请直接写出x的取值范围.
【答案】(1)点C的坐标为(0,);(2)当x+<﹣时,x的取值范围为x<﹣4或﹣1<x<0.
【解析】
试题分析:(1)作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求.由点A为一次函数与反比例函数的交点,利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点A、B的坐标,再根据点A′与点A关于y轴对称,求出点A′的坐标,设出直线A′B的解析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式,令直线A′B解析式中x为0,求出y的值,即可得出结论;(2)根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标,即可得出不等式的解集.
试题解析:(1)作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求,如图所示.
∵反比例函数y=(x<0)的图象过点A(﹣1,2),
∴k=﹣1×2=﹣2,
∴反比例函数解析式为y=﹣(x<0);
∵一次函数y=x+b的图象过点A(﹣1,2),
∴2=﹣+b,解得:b=,
∴一次函数解析式为y=x+.
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组:,
解得:,或,
∴点A的坐标为(﹣1,2)、点B的坐标为(﹣4,).
∵点A′与点A关于y轴对称,
∴点A′的坐标为(1,2),
设直线A′B的解析式为y=mx+n,
则有,解得:,
∴直线A′B的解析式为y=x+.
令y=x+中x=0,则y=,
∴点C的坐标为(0,).
(2)观察函数图象,发现:
当x<﹣4或﹣1<x<0时,一次函数图象在反比例函数图象下方,
∴当x+<﹣时,x的取值范围为x<﹣4或﹣1<x<0.
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【题目】提出问题:如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC与点E,求证:PB=PE
分析问题:学生甲:如图1,过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N通过证明两三角形全等,进而证明两条线段相等.
学生乙:连接DP,如图2,很容易证明PD=PB,然后再通过“等角对等边”证明PE=PD,就可以证明PB=PE了.
解决问题:请你选择上述一种方法给予证明.
问题延伸:如图3,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,PB=PE还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出( )
A. 2根小分支
B. 3根小分支
C. 4根小分支
D. 5根小分支
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】点P (-2,-3)向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得到的点的坐标为 ( )
A.(-3,0)
B.(-1,6)
C.(-3,-6)
D.(-1,0)
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【题目】将以A(﹣2,7),B(﹣2,2)为端点的线段AB向右平移2个单位得线段A1B1,以下点在线段A1B1上的是( )
A.(0,3)B.(﹣2,1)C.(0,8)D.(﹣2,0)
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