Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为________．

Answer 1

【答案】4或16

【解析】

分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．

解：分两种情况：

①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：

由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，

∴DE＝D′E，

∵正方形ABCD的边长是18，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，

∵CF＝8，

∴DF＝D′F＝CDCF＝10，

∴CD′＝＝6，

∴BD'＝BCCD'＝12，

设AE＝x，则BE＝18x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，

由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18x）2＋122，

∴182＋x2＝（18x）2＋122，

解得：x＝4，即AE＝4；

②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：

由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，

∴DE＝D′E，

∵正方形ABCD的边长是18，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，

∵CF＝8，

∴DF＝D′F＝CDCF＝10，CD'＝＝6，

∴BD'＝BC＋CD'＝24，

设AE＝x，则BE＝18x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，

由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18x）2＋242，

∴182＋x2＝（18x）2＋242，

解得：x＝16，即AE＝16；

综上所述，线段AE的长为4或16；

故答案为：4或16．