【题目】如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B.
(1)当x=2时,求⊙P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式;判断此函数图象的形状;并在图②中画出此函数的图象;
(3)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧,请利用图②,求cos∠APD的大小.
【答案】(1)圆P的半径为;(2)画出函数图象,如图②所示;见解析;(3)cos∠APD==.
【解析】
(1)由题意得到AP=PB,求出y的值,即为圆P的半径;
(2)利用两点间的距离公式,根据AP=PB,确定出y关于x的函数解析式,画出函数图象即可;
(3)画出相应图形,求出m的值,进而确定出所求角的余弦值即可.
(1)由x=2,得到P(2,y),连接AP,PB,
∵圆P与x轴相切,∴PB⊥x轴,即PB=y,
由AP=PB,得到 ,解得:y=,则圆P的半径为
(2)同(1),由AP=PB,得到(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2,
整理得:
图象为开口向上的抛物线,
画出函数图象,如图②所示;
(3)连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,
设PE=a,则有EF=a+1,ED= ,∴D坐标为(1+,a+1),
代入抛物线解析式得:,解得:或(舍去),
即PE=,在Rt△PED中,PE=,PD=1,
则cos∠APD==.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接DB.
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点M是抛物线上的动点,设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时,求点M的坐标;
②过点M作MN∥x轴,与抛物线交于点N,P为x轴上一点,连接PM,PN,将△PMN沿着MN翻折,得△QMN,若四边形MPNQ恰好为正方形,直接写出m的值.
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【题目】某校九(18)班开展数学活动,毓齐和博文两位同学合作用测角仪测量学校的旗杆,毓齐站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°,博文站在D(D点在直线FB上)测得旗杆顶端E点仰角为15°,已知毓齐和博文相距(BD)30米,毓齐的身高(AB)1.6米,博文的身高(CD)1.75米,求旗杆的高EF的长.(结果精确到0.1)
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【题目】如图,面积为1的等腰直角△OA1A2,∠OA2A1=90°,以OA2为斜边在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3,以OA3为斜边在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4,以OA4为斜边在△OA3A4外部作等腰直角△OA4A5,…,连接A1A3,A2A4,A3A5,…分别与OA2,OA3,OA4,交于点C1,C2,C3,按此规律继续下去,则△OAnCn的面积等于_____.(用含正整数n的式子表示)
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【题目】如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.
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【题目】一个不透明的口袋中有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中有白球2个,黄球1个,小明将球搅匀后从中摸出一个球是红球的概率是0.25.
(1)求口袋中红球的个数;
(2)若小明第一次从中摸出一个球,放回搅匀后再摸出一个球,请通过树状图或者列表的方法求出小明两次均摸出红球的概率.
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【题目】如图,一条河的两岸BC与DE互相平行,两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯),每排相邻两景观灯的间隔都是10 m,在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC,看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住.河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯,河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯,求这条河的宽度.
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动,将△PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P′,设Q点运动的时间为t秒,若四边形QPCP′为菱形,则t的值为_____.
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