【题目】已知抛物线.
(1)求证:无论为任何实数,抛物线与
轴总有两个交点;
(2)若A、B
是抛物线上的两个不同点,求抛物线的表达式和
的值;
(3)若反比例函数的图象与(2)中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为
,且满足2<
<3,求k的取值范围.
【答案】(2),
(3)5<k<18
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线的图像与性质可知其与x轴交点的判定条件是,因此可由判别式得证结果;
(2)根据题意可求得抛物线的对称轴,且有A,B的点可判断它们是对称点,根据对称性可求出m的值,求得抛物线的解析式,然后把A点的坐标代入解析式可求得n的值;
(3)根据二次函数的增减性以及反比例函数的图像与性质,可以判断出两函数之间的大小关系,构成不等式,从而解出k的取值范围.
试题解析:(1)证明:令.
得.
不论m为任何实数,都有(m-1)2+3>0,即△>0.
∴不论m为任何实数,抛物线与x轴总有两个交点.
(2)解:抛物线
的对称轴为
∵抛物线上两个不同点A、B
的纵坐标相同,
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称,则.
∴.
∴抛物线的解析式为.
∵A在抛物线
上,
∴.
化简,得.
∴ .
(3)当2<<3时,对于
,y随着x的增大而增大,
对于,y随着x的增大而减小.
所以当时,由反比例函数图象在二次函数图象上方,得
>
,
解得k>5.
当时,由二次函数图象在反比例函数图象上方,得
>
,
解得k<18.
所以k的取值范围为5<k<18.
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【题目】端午节前夕,小东妈妈准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个棕子的价格相同,每个咸鸭蛋的价格相同).已知某超市粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元,小东妈妈发现,花30元购买粽子的个数与花12元购买的咸鸭蛋个数相同.
(1)求该超市粽子与咸鸭蛋的价格各是多少元?
(2)小东妈妈计划购买粽子与咸鸭蛋共18个,她的一张购物卡上还有余额40元,若只用这张购物卡,她最多能购买粽子多少个?
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【题目】如图,海中有一小岛P,在距小岛P的海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
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【题目】如图在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF⊥AC交CD于点E,交AB于点F,将△AEF沿EF折叠点A落在G处,当△CGB为等腰三角形时,则AP的长为_________.
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【题目】如图①,小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上。OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1,绕点B1按顺时针方向旋转120°,此时点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处)。小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转的过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即和
,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形
的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和。
小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B2处,小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°,…。按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:
问题①:若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程;
问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是?
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【题目】如图①为Rt△AOB,∠AOB=90°,其中OA=3,OB=4.将AOB沿x轴依次以A,B,O为旋转中心顺时针旋转.分别得图②,图③,…,则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是_____.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x,y轴的距离中的最大值等于点Q到x,y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点为“等距点”图中的P,Q两点即为“等距点”.
(1)已知点A的坐标为.①在点
中,为点A的“等距点”的是________;②若点B的坐标为
,且A,B两点为“等距点”,则点B的坐标为________.
(2)若两点为“等距点”,求k的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标是(3,3),AB⊥x轴于点B,反比例函数y=的图象中的一支经过线段OA上一点M,交AB于点N,已知OM=2AM.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若直线MN交y轴于点C,求△OMC的面积。
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【题目】已知,如图,线段AD=10cm,点B,C都是线段AD上的点,且AC=7cm,BD=4cm,若E,F分别是线段AB,CD的中点,求BC与EF的长度.
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