Question

【题目】如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.

Answer 1

【答案】1或

【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：①CG=CB，②GC=GB分别计算即可．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=，∠DAC=∠BAC= =30°，AC=3，如图，

∵EF⊥AG，

∴∠EPA=∠FPA=90°，

∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，

∴∠AEP=∠AFP，

∴AE=AF，

∵△A′EF是由△AEF翻折，

∴AE=EG，AF=FG，

∴AE=EG=GF=FA，

∴四边形AEGF是菱形，

∴AP=PG

①当CB=CG时，∵AG=AC-CG=3-，

∴AP=AG=．

②当GC=GB时，∵∠GCB=∠GBC=∠BAC，

∴△GCB∽△BAC，

∴,

∴GC=1，

∴AG=3-1=2，

∴AP=AG=1．

故答案为1或．