Question

【题目】如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上。OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）。小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和。

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…。按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？

Answer 1

【答案】(1) (2) 81次

【解析】整体分析：

①正方形纸片OABC经过3次旋转，旋转中心分别为点A，B，C，半径分别为1， ，1；顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形有2个半径为1的扇形，1个半径为的扇形和2个直角边长为1的等腰直角三角形；正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过3段半径为1的弧和1段半径为的弧；②正方形经过四次旋转为一个周期，计算出正方形经过四次旋转时点O经过的路程与作比较即可求解.

①如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧；

∴顶点O在此过程中经过的路程为： ，

顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为： 。

正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为： ，

②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为： ，

根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程为

又∵，

∴正方形纸片OABC经过了20×4+1=81次旋转.