Question

8．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与直线y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$交于点B，且直线y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$与x轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与直线y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$交于点B，且直线y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$与x轴交于点C，可以求得A、B、C三点坐标；
（2）根据A、B、C、D四点坐标和△ABC的面积等于△ACD的面积减去△BCD的面积，可以求得△ABC的面积．

解答 解：（1）如下图所示：直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与x轴交于点D．

∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与x轴交于点D，
∴将x=0代入y=-$\frac{4}{3}$x+4，可得，y=4．
将y=0代入y=-$\frac{4}{3}$x+4，可得，x=3．
∴点A的坐标为（0，4），点D的坐标为（3，0）．
∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与直线y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$交于点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴点B的坐标为（$\frac{3}{2}，2$）．
又∵直线y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$与x轴交于点C，
∴将y=0代入y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$，可得x=-1．
故点C的坐标为（-1，0）．
故点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（$\frac{3}{2}，2$），故点C的坐标为（-1，0）．
（2）如下图所示：直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与x轴交于点D，作BE⊥CD于点E．

∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（$\frac{3}{2}，2$），故点C的坐标为（-1，0），点D的坐标为（3，0），S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD．
∴S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD=$\frac{CD×OA}{2}-\frac{CD×BE}{2}$=$\frac{4×4}{2}-\frac{4×2}{2}=8-4=4$．

点评 本题考查两条直线相交和求三角形的面积的相关知识，关键是进行灵活变化，将求△ABC的面积转化为求△ACD的面积和△BCD的面积，从而得到△ABC的面积．