Question

3．已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；
（2）由（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．

解答 解：（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；
（2）由（1）得A（1，0），B（3，0），
当x=0时，y=-x²+4x-3=-3，则C（0，-3），
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（3-1）×3=3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．