Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A和顶点D的坐标；

（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；

（3）若抛物线y＝ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），顶点D（1，﹣4）；（2）直线BE的表达式为；（3）．

【解析】

（1）令y＝0，则mx2＋（m3）x3＝0，可求得x1＝1，，即可求得A（1，0），由AB＝4，即可求得B（3，0），得到m＝1，则解析式为y＝x22x3，化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据平移的性质得到E点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（3）把点D（1，4），E（3，4）分别代入y＝ax26，求得a的值，即可求得．

解：（1）y＝mx2+（m﹣3）x﹣3与y轴交于点C（0，﹣3），

令y＝0，则mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，

可得x1＝﹣1，，

由于点A在点B左侧，m＞0可知点A（﹣1，0），

又∵AB＝4，

∴点B（3，0），

∴m＝1，

∴y＝x2﹣2x﹣3，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴点D（1，﹣4）；

（2）依题意可知点E（﹣3，﹣4），

设直线BE的表达式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直线BE的表达式为；

（3）点D（1，﹣4），E（﹣3，﹣4）分别代入y＝ax2﹣6，

可得或a＝2，

∴a的取值范围为．