Question

【题目】抛物线与直线交于两点，且两点之间的抛物线上总有两个纵坐标相等的点．

（1）求证：；

（2）过作轴的垂线，交直线于，，且当，，三点共线时，轴．

①求的值：

②对于每个给定的实数，以为直径的圆与直线总有公共点，求的范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②．

【解析】

（1）先联立，消去得，法一：根据题意可得出，从而有，即可得出结果；法二：设这两个纵坐标相等的点的横坐标为，，则，则，得出，从而有，即，同法一可得出结果；

（2）①设，，根据根与系数的关系可得，，由，均与轴平行，得出，，由，，三点共线，有，得出，即可求出x1，x2，再根据轴，得出，将x1，x2代入可求出a的值；②设以为直径的圆与直线的公共点为，连接AP，BP，则，过点A作AM垂直直线y=m于点M，过点B作BN垂直y=m于点N，构造一线三等角，可得：△AMP∽△PNB，得出，即，整理得，将x1+x2，x1x2代入，然后整理成关于的方程，由可得出，根据题意可得上述不等式对于任意的实数恒成，转化为二次函数图象开口向上，且与轴至多只有一个交点，据此列出关于m的不等式组，解出m即可．

（1）证明：法一：联立，消去得，

抛物线的对称轴为轴，则这两个纵坐标相等的点关于轴对称，

∴，∴，∴；

法二：设这两个纵坐标相等的点的横坐标为，，

则，∴．

∵，，∴，∴，∴．

∴，∴．

（2）解：①设，，

则由（1）知，是方程的两根，

∴，，

又∵，均与轴平行，

∴，，

又∵，，三点共线，∴，

∴，∴，

∴，，

又∵轴，∴，

∴，即，解得或．

∵，∴．

②设以为直径的圆与直线的公共点为，连接AP，BP，则，

过点A作AM垂直直线y=m于点M，过点B作BN垂直y=m于点N，构造一线三等角，可得：

△AMP∽△PNB，∴，∴，

∴，

又由①得，，

∴，

将上述方程整理成关于的方程：…（*），

∵方程（*）有实数根，

∴，∴，

整理得，

对于每个给定的实数，以为直径的圆与直线总有公共点，即总有点存在，

∴上述不等式对于任意的实数恒成．

当，即时，上述不等式为：，舍去；

当时，欲使上述不等式恒成立，

则二次函数图象开口向上，且与轴至多只有一个交点，

∴，解得：．

∴的范围为．