Question

【题目】如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE．

（1）求证：AD为⊙O切线；

（2）若AB＝20，tan∠EBA＝，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4＝∠2，再利用AB为直径得到∠2+∠BAE＝90°，则∠4+∠BAE＝90°，然后根据切线的判定方法得到AD为⊙O切线；

（2）解：根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，设AE＝3k，BE＝4k，则AB＝5k＝20，求得AE＝12，BE＝16，连接OE交AC于点G，如图，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵AB为直径，

∴AE⊥BD，

∵DE＝FE，

∴∠3＝∠4，

∵∠1＝∠3，

∴∠4＝∠2，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∵∠2+∠BAE＝90°

∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，

∴AD⊥AB，

∴AD为⊙O切线；

（2）解：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵tan∠EBA＝，

∴设AE＝3k，BE＝4k，则AB＝5k＝20，

∴AE＝12，BE＝16，

连接OE交AC于点G，如图，

∵∠1＝∠2，

∴，

∴OE⊥AC，

∵∠3＝∠2，

∴tan∠EBA＝tan∠3＝，

∴设AG＝4x，EG＝3x，

∴AE＝5x＝12，

∴x＝，

∴AG＝，

∵OG∥BC，

∴AC＝2AG＝，

∴BC＝＝．