Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c，与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

(Ⅰ)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(Ⅱ)点是抛物线上的动点，当时，求点F坐标；

(Ⅲ)若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y=-x2+2x+6；；(Ⅱ)点的坐标为或；(Ⅲ)点的横坐标为或4或0．

【解析】

(Ⅰ)把B、C坐标代入y=-x2+bx+c，解方程组求出b、c的值即可得抛物线解析式，把解析式变形为顶点式可得D点坐标；(Ⅱ)过F作FG⊥x轴于点G，设F点坐标为，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，即可求得F点的坐标；(Ⅲ)设，分G在y轴上、F在y轴上、F在y轴上，P与C重合三种情况讨论，根据正方形的性质得出m的方程，求出m的值即可得P点横坐标.

(Ⅰ)把点坐标为（6，0），点坐标为（0，6）代入抛物线y=-x2+bx+c

得，解得．

∴，

∴．

(Ⅱ)如图1，过作轴于点，

设，则

∵，，

∴，

∴．

∵，，

∴，，，，

∴，

∴，

当点在轴上方时，有，解得或(舍去)，

此时点坐标为．

当点在轴下方时，有，解得或(舍去)，

此时点坐标为．

综上可知点的坐标为或．

(Ⅲ)设，有三种情况：

①如图2，当在轴上时，过P作轴于，作PM⊥x轴于，

∵四边形是正方形，

∴．

∵，，

∴≌△PMB，

∴．

即，解得，(舍)．

∴的横坐标为．

②当在轴上时，如图3，过作PM⊥x轴于M，

同理得：△PMB≌，

∴OB=PM=6．

即，解得：(舍)，．

∴的横坐标为4．

③当在轴上时，如图4，此时与重合，此时的横坐标为0．

综上所述，点的横坐标为或4或0．