Question

【题目】如图，抛物线（，为常数且）经过点，顶点为，经过点的直线与轴平行，且与交于点，（在的右侧），与的对称轴交于点，直线经过点．

（1）用表示及点的坐标；

（2）的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）当直线经过点时，求的值及点，的坐标；

（4）当时，设的外心为点，则

①求点的坐标；

②若点在的对称轴上，其纵坐标为，且满足，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是，定值为2；（3），，；（4）①；②或．

【解析】

（1）首先根据题意将点C坐标代入抛物线解析式求出，然后将抛物线解析式化为顶点式，最后将代入，由此即可得出点M的坐标；

（2）首先利用抛物线的对称性得出，然后进一步根据点M的坐标得出PF=1，最后通过进一步化简变形求解即可；

（3）根据“直线经过点”列出方程，然后结合抛物线的开口方向所判断出的将原方程化简为，由此解出方程，结合题意分别表示出A、B两点的坐标，最后再代入直线的解析式求出的值，由此进一步求解即可得出答案；

（4）①根据抛物线的轴对称性可知，的对称轴就是的垂直平分线，由此得出的外心就在直线上，则有，据此进一步设N点坐标为(，)，再结合点A、C的坐标建立方程，求出的值，从而即可得出点N的坐标；②结合题意可得点Q(1，)，然后利用C、N两点的坐标得出半径，由此进一步得出，最后根据题意进一步分析讨论即可.

（1）把点C(，0)代入抛物线，得：

，

∴．

∴抛物线L解析式为：，

顶点M坐标为(1，)；

（2）是定值，

根据图像，由抛物线的轴对称性，可知，

又∵抛物线L的对称轴为，故，

∴；

（3）当直线经过点时，有，

化简得，，

∵根据抛物线开口向上可知，

∴，

解得：，，

∵B在的右侧，对称轴为，

∴B点坐标为：(4，)，A点坐标为(，)，

把点代入直线，得，解得，

∴A点坐标为(，)，B点坐标为：(4，)；

（4）

①根据抛物线的轴对称性可知，的对称轴就是的垂直平分线，

故的外心就在直线上，则有．

∴设N点坐标为(，)，由（3）可知A点坐标为(，)，及C点坐标为(，)，

∴，

即，解得，

∴N点坐标为(，)；

②或．

如图，对于点Q(1，)，若，

根据同弧所对的圆周角相等，可得点为与的交点，

∵N点坐标为(，)，C点坐标为(，)，

∴的半径为，

则；

设点关于直线的对称点为，若，

则．

综上，若点满足，则有或．