【题目】如图,在中,
,
是
的外接圆,连结OA、OB、OC,延长BO与AC交于点D,与
交于点F,延长BA到点G,使得
,连接FG.
备用图
(1)求证:FG是的切线;
(2)若的半径为4.
①当,求AD的长度;
②当是直角三角形时,求
的面积.
【答案】(1)见解析;(2)①,②当
时,
;当
时,
.
【解析】
(1)连接AF,由圆周角定理的推论可知,根据等腰三角形的性质及圆周角定理的推论可证
,
,从而可得
,然后根据切线的判定方法解答即可;
(2)①连接CF,根据“SSS”证明,由全等三角形及等腰三角形的性质可得
,进而可证
,由平行线分线段成比例定理可证
,可求
,然后由相交弦定理求解即可;
②分两种情况求解即可,(i)当时,(ii)当
时.
(1)连接AF,
∵BF为的直径,
∴,
,
∴,
∵,∴
,
∵,
,
∴,
∴,即
.
又∵OF为半径,
∴FG是的切线.
(2)①连接CF,
则,
∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵半径是4,,∴
,
,
∴,即
,
又由相交弦定理可得:,
∴,即
,
∴(舍负);
(2)②∵为直角三角形,
不可能等于
.
∴(i)当时,则
,
由于,∴
,
,
∴,
∴,
,
∴;
(ii)当时,
∵,∴
是等腰直角三角形,∴
,
延长AO交BC于点M,
∵AB=AC,
∴弧AB=弧AC,
∴,
∴,
∴,
∴.
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【题目】如图,在矩形中,
,
,点
在线段
上,由点
向点
运动,当点
与点
重合时,停止运动.以点
为圆心,
为半径作
,
与
交于点
,点
在
上且在矩形
外,
.
(1)当时,
__________,扇形
的面积=__________,点
到
的最短距离=__________.
(2)与
相切时,求
的长?
(3)如图与
交于点
、
,当
时,求
的长?
(4)请从下面两问中,任选一道进行作答.
①当与
有两个公共点时,直接写出
的取值范围.
②直接写出点的运动路径长以及
的最短距离.
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【题目】关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论:
①抛物线交x轴有交点;
②不论m取何值,抛物线总经过点(1,0);
③若m>6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB>1;
④抛物线的顶点在y=﹣2(x﹣1)2图象上.其中正确的序号是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
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【题目】如图,,点
在
上.以点
为圆心,
为半径画弧,交
于点
(点
与点
不重合),连接
;再以点
为圆心,
为半径画弧,交
于点
(点
与点
不重合),连接
;再以点
为圆心,
为半径画弧,交
于点
(点
与点
不重合),连接
;
,按照上面的要求一直画下去,就会得到
,则
(1)_________
;
(2)与线段长度相等的线段一共有__________条(不含
).
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【题目】如图,抛物线(
,
为常数且
)经过点
,顶点为
,经过点
的直线
与
轴平行,且
与
交于点
,
(
在
的右侧),与
的对称轴交于点
,直线
经过点
.
(1)用表示
及点
的坐标;
(2)的值是否是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;
(3)当直线经过点
时,求
的值及点
,
的坐标;
(4)当时,设
的外心为点
,则
①求点的坐标;
②若点在
的对称轴上,其纵坐标为
,且满足
,直接写出
的取值范围.
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【题目】如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 BC 边上一点,连接 DE 交对角线 AC 于点 F,若 AB=6,AD=8,BE=2,则 AF 的长为 _________________
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【题目】如图,已知∠AOB=60°,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PE⊥OB,交OB 于点E,点D在∠AOB内,且满足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.
(1)当DP=PE时,求DE的长;
(2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得的值不变?并证明你的判断.
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【题目】问题提出
(1)如图①,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点O是△ABC的外接圆的圆心,则OB的长为
问题探究
(2)如图②,已知矩形ABCD,AB=4,AD=6,点E为AD的中点,以BC为直径作半圆O,点P为半圆O上一动点,求E、P之间的最大距离;
问题解决
(3)某地有一块如图③所示的果园,果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的,果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP.已知AD∥BC,∠ADB=45°,BD=120
米,BC=160米,过弦BC的中点E作EF⊥BC交
于点F,又测得EF=40米.修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计),不考虑其他因素,请你根据以上信息,帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元?
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