Question

【题目】如图，在矩形中，，，点在线段上，由点向点运动，当点与点重合时，停止运动．以点为圆心，为半径作，与交于点，点在上且在矩形外，．

（1）当时，__________，扇形的面积=__________，点到的最短距离=__________．

（2）与相切时，求的长？

（3）如图与交于点、，当时，求的长？

（4）请从下面两问中，任选一道进行作答．

①当与有两个公共点时，直接写出的取值范围．

②直接写出点的运动路径长以及的最短距离．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）4；（4）①，或；②，

【解析】

（1）根据已知直接可求；
（2）⊙P与AC相切时，设切点为点H，连接PH，则PH⊥AC，在Rt△ADC中，AB=6，BC=8，得AC=10；在Rt△ADC中，sin∠DAC=，设⊙P半径为x，则PH=PD=x，AP=8-x，在Rt△AHP中，sin∠PAH=＝，可求x=3，在Rt△PDC中，CD=6，PD=3，求得PC= ；
（3）过点P作PH⊥AC，连接PF；则∠PHA=∠ADC=90°，可证△AHP∽△ADC，设⊙P半径为x，则PF=PD=x，AP=8-x，则PH=（8-x），在⊙P中，FH⊥AC，EF=6.4，HF=3.2，在Rt△PHF中，((8x))2+3.22=x2，求得PD=4；
（4）①作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，易知PM=PD时，⊙P与AC相切，与△ABC只有一个公共点，PM＜PD时⊙P与△ABC没有公共点；当PN=PD时，⊙P与BC相切，⊙P与△ABC有三个公共点，当PB=PD时，⊙P与△ABC有三个公共点；当PB＜PD≤AD时，⊙P与△ABC有且只有两个公共点；故3＜PD＜6或＜PD≤8；②由∠QPD=120°，PQ=PD可得：∠ADQ=30°，即Q的路径是一条线段，且线段DQ位于AD上方，易求得DQ=8，BQ的最短距离即点B到DQ的垂线段长度，可求得span>DQ的最小值=3+4；

解：（1）如图1，连接PC，QP，PC交⊙P于T，

∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，
在Rt△CDP中，由勾股定理得：PC===4 ，
∵∠QPD=120°，PD=2
∴S扇形QPD＝=4π
CT=CP-PT=4-2=2
故答案为：4，4π，2；

（2）与相切时，设切点为点，

连接，则，

四边形为矩形

在中，，，

在中，

设半径为，则，，

在中，，，

在中，，，

（3）过点作，垂足为点，连接，

则

又

设半径为，则，，

在中，，

在中，根据勾股定理得：

解得：（舍去），

的长为4．

（4）①，或

②，