Question

13．在△ABC中，∠C=2∠B．
（1）若∠C=30°，AC=4，求△ABC的面积；
（2）若AB=$\sqrt{3}$，BC=2AC，求△ABC的面积；
（3）若AB=2$\sqrt{6}$，AC：BC=3：5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥CA于D，如图所示：则∠D=90°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD，设AD=BD=x，则CD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$x，得出方程，解方程求出x，即可得出结果；
（2）分两种情况：①∠A=90°时；②∠C=90°时；由勾股定理求出直角边长，即可求出△ABC的面积即可；
（3）设AC=3x，则BC=5x，分两种情况：①∠C=90°时；②∠A=90°时；由勾股定理求出直角边长，即可得出结果．

解答 解：（1）作BD⊥CA于D，如图所示：
则∠D=90°，
∵∠C=2∠B，∠C=30°，
∴∠B=15°，
∴∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则CD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$x，
即4+x=$\sqrt{3}$x，
解得：x=2+2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×（2+2$\sqrt{3}$）=4+4$\sqrt{3}$；
（2）分两种情况：
①∠A=90°时，则∠B+∠C=90°，
∵∠C=2∠B，
∴∠B=30°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=1，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②∠C=90°时，
设AC=x，则BC=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=（$\sqrt{3}$）²，
∴x²=$\frac{3}{5}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×x×2x=x²=$\frac{3}{5}$；
综上所述，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3}{5}$；
（3）设AC=3x，则BC=5x，分两种情况：
①∠C=90°时，
由勾股定理得：（3x）²+（5x）²=（2$\sqrt{6}$）²，
解得：x²=$\frac{12}{17}$，
∴△ABC的面积═$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×3x×5x=$\frac{90}{17}$；
②∠A=90°时，AB=4x=2$\sqrt{6}$，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴3x=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×AB•AC=$\frac{1}{2}$×AB•AC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\frac{3\sqrt{6}}{2}$=9；
综上所述：△ABC的面积为$\frac{90}{17}$或9．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键；本题综合性强，有一定难度，需要分类讨论．