Question

如图，AB为⊙O的直径，C为AE的中点，连结AE交BC于F点．
（1）求证：AC²=CF•CB；
（2）延长AE至D点，若FD=FB=4，CF=2，试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先利用圆周角定理得到∠ABC=∠CAE，再证明△CAF∽△CBA，利用相似比和比例的性质即可得到AC²=CF•CB；
（2）先利用（1）的结论计算出AC=2

3

，再根据圆周角定理得∠ACB=90°，利用特殊角的三角函数值可求出∠ABC=30°，则∠CAE=30°，易得∠AFC=∠BFD=60°，接着判定△FBD为等边三角形，得到∠FBD=60°，所以∠ABD=∠ABC+∠FBD=90°，然后根据切线的判定定理可判断BD为⊙O的切线．

解答：（1）证明：∵C为AE的中点，
∴

AC

=

CE

，
∴∠ABC=∠CAE，
而∠ACF=∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴CA：CB=CF：CA
∴AC²=CF•CB；
（2）解：BD与⊙O相切．理由如下：
∵CB=CF+FB=6，CF=2，
∴AC²=CF•CB=2×6，即AC=2

3

，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∴∠CAE=30°，
∴∠AFC=60°，
∴∠BFD=60°，
而FB=FD，
∴△FBD为等边三角形，
∴∠FBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC+∠FBD=90°，
∴AB⊥BD，
∴BD为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．