Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F，
（1）求证：CF=BF；
（2）若tan∠CDM=2，求sin∠ABD的值．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先延长CE交⊙O于点G，由AB是⊙O的直径，CE⊥AB，根据垂径定理可得：

BC

=

BG

，又由C是

BD

的中点，即可证得

CD

=

BG

，由圆周角定理可得∠BCF=∠CBF，即可证得CF=BF；
（2）由圆的内接四边形的性质可得∠ABC=∠DCM，即可得tan∠ABC=

CE

BE

=2，然后设CE=2x，BE=x，可得BF=CF=CE-EF=2x-EF，又在Rt△BEF中，EF²+BE²=BF²，即可求得EF的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：延长CE交⊙O于点G，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴

BC

=

BG

，
∵C是

BD

的中点，
∴

CD

=

BC

，
∴

CD

=

BG

，
∴∠BCF=∠CBF，
∴CF=BF；

（2）解：∵∠CDM+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠DCM，
∵tan∠CDM=2，
∴tan∠ABC=

CE

BE

=2，
设CE=2x，BE=x，
∴BF=CF=CE-EF=2x-EF，
在Rt△BEF中，EF²+BE²=BF²，
∴EF²+x²=（2x-EF）²，
解得：EF=

3

4

x，
∴BF=2x-EF=

5

4

x，
∴sin∠ABD=

EF

BF

=

3

5

．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．