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    16．（1）发现问题
    如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．

    填空：
    ①∠AEB的度数为60°；
    ②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．
    （2）拓展研究
    如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系，并说明理由．
    （3）探究发现
    图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角θ（0°＜θ＜180°）尝试在图3中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

    分析 （1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
    （2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
    （3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．

    解答 解：（1）①如图1，
    ∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
    ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
    ∴∠ACD=∠BCE．
    在△ACD和△BCE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
    ∴△ACD≌△BCE（SAS）．
    ∴∠ADC=∠BEC．
    ∵△DCE为等边三角形，
    ∴∠CDE=∠CED=60°．
    ∵点A，D，E在同一直线上，
    ∴∠ADC=120°．
    ∴∠BEC=120°．
    ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
    故答案为：60°．
    ②∵△ACD≌△BCE，
    ∴AD=BE．
    故答案为：AD=BE．
    （2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
    理由：如图2，
    ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
    ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
    ∴∠ACD=∠BCE．
    在△ACD和△BCE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
    ∴△ACD≌△BCE（SAS）．
    ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
    ∵△DCE为等腰直角三角形，
    ∴∠CDE=∠CED=45°．
    ∵点A，D，E在同一直线上，
    ∴∠ADC=135°．
    ∴∠BEC=135°．
    ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
    ∵CD=CE，CM⊥DE，
    ∴DM=ME．
    ∵∠DCE=90°，
    ∴DM=ME=CM．
    ∴AE=AD+DE=BE+2CM．
    （3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，
    ∴∠CAD=∠CBE，
    ∵∠CAB=∠CBA=60°，
    ∴∠OAB+∠OBA=120°
    ∴∠AOE=180°-120°=60°，
    当△CDE继续旋转时，同理可得：∠AOE=120°，
    综上所述：∠AOE=60°或120°．

    点评 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．

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