Question

1．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，其他条件不变，求线段AM的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；
（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；
（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，
在△MAC≌△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）作GK⊥BC于K，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，
∠AMG=75°，
∴AM=AG，
∵△MAC≌△NBC，
∴∠MAC=∠NBC，
∴A、C、D、B四点共圆，
∴∠BDA=∠BCA=90°，
∵BD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
AC=BC=$\sqrt{3}$+1，
设BK=a，则GK=a，CK=$\sqrt{3}$a，
∴a+$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$+1，
∴a=1，
∴KB=KG=1，BG=$\sqrt{2}$，
AG=$\sqrt{6}$，
∴AM=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．