Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AC⊥AB交x轴于点C．

（1）如图1，求直线AC的解析式；

（2）如图2，点P在AO的延长线上，点Q在AC上，连接PB，PQ，且PQ＝PB，设点P的纵坐标为t，AQ的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，PQ交x轴于点D，延长PQ交BA的延长线于点E，过点E作EF⊥PE交y轴于点F，若DE＝EF，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）AC的解析式为y＝x+3；（2）d＝﹣t；（3）（﹣1，2）

【解析】

（1）先根据直线求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出OC的长，从而可得点C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

（2）先求出点P的坐标，再根据AQ的长、直线AC的解析式可求出点Q的坐标，然后根据，利用两点之间的距离公式建立等式求解即可；

（3）如图（见解析），先求出点Q的坐标，从而得出PN、QN的长，再根据正切三角形函数值、勾股定理得出DP的长和，然后利用待定系数法求出直线PQ的解析式，联立直线AB的解析式求出点E的坐标，最后利用两点之间的距离公式求出DE的长，代入求解即可．

（1）∵交x轴于点B，交y轴于点A

令，则，解得

∴

令，则

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

设AC的解析式为

将点，代入得，解得

则直线AC的解析式为；

（2）∵点P在AO的延长线上，点P的纵坐标为t

∴，

如图，过点Q作轴交于点M

∵AQ的长为，

∴

∴

∵

∴

整理得

解得或（舍去）

故d与t之间的函数关系式为；

（3）如图，过点Q作轴交于点N，则

∵

∴，

∴

∴，即

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

设直线PQ的解析式为

将点代入得，解得

则直线PQ的解析式为

联立，解得

∴

由两点之间的距离公式得：

将DE、DP的值代入得：

整理得：

解得或（不符题意，舍去）

．