Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D．

（1）求证：BE＝EF；

（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF＝.

【解析】

（1）通过证明∠6=∠EBF得到EB=EF；

（2）先证明△EBD∽△EAB，再利用相似比求出AE，然后计算AE-EF即可得到AF的长．

（1）证明：∵AE平分∠BAC，

∴∠1＝∠4，

∵∠1＝∠5，

∴∠4＝∠5，

∵BF平分∠ABC，

∴∠2＝∠3，

∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，

即∠6＝∠EBF，

∴EB＝EF；

（2）解：∵DE＝4，DF＝3，

∴BE＝EF＝DE+DF＝7，

∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，

∴△EBD∽△EAB，

，即，

∴EA＝，

∴AF＝AE﹣EF＝．