Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（ ）

①△CMP∽△BPA；

②四边形AMCB的面积最大值为10；

③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；

④线段AM的最小值为2；

⑤当△ABP≌△ADN时，BP= 4-4．

A. 1个B. 2个C. 4个D. 3个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据相似三角形的判定和性质逐个分析即可. 证AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，得△CMP∽△BPA，故①正确；当x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确；NE≠EP，故③错误；AM的最小值==5，故④错误；PB=故⑤正确．

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正确，设PB=x，则CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM=x（4﹣x），∴S四边形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4==，∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，解得，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小时AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=，∴x=1时，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°．∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=，∴PB=故⑤正确．

故选：C．