Question

【题目】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝8，CD＝10．

(1)求梯形ABCD的面积S；

(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：

①当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；

③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)SABCD＝40；(2)①当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分；②t＝或t＝ 时，△PAD与△CQE相似；③t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

【解析】

（1）求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出高后即可求出梯形的面积．
（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值．
②本题要分三种情况进行讨论：
一，当P在AB上时，即0＜t≤8，如果两三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根据∠C的正切值，求出t的值．
二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形．
三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不可能和直角△CQE相似．
综合三种情况即可得出符合条件的t的值．
（3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论：
一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等．
三，当P在CD上时，即10＜t≤12，情况同二．
综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．

(1)过D作DH∥AB交BC于H点，

∵AD∥BH，DH∥AB，

∴四边形ABHD是平行四边形．

∴DH＝AB＝8；BH＝AD＝2．

∴CH＝8﹣2＝6．

∵CD＝10，

∴DH2+CH2＝CD2∴∠DHC＝90°．

∠B＝∠DHC＝90°．

∴梯形ABCD是直角梯形．

∴SABCD＝

(2)①∵BP＝CQ＝t，

∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t，

∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ，

∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t．

∴t＝3＜8．

∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．

②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP＝∠C

∴tan∠ADP＝tan∠C＝

∴

∴t＝

若△PAD∽△CEQ则∠APD＝∠C

∴tan∠APD＝tan∠C＝

∴

∴t＝

第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；

第三种情况：10＜t≤12，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；

∴t＝或t＝时，△PAD与△CQE相似．

③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．

∵AP＝8﹣t，AD＝2，

∴PD＝

∵CE＝t，QE＝t，

∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t．

∴PH＝t﹣t＝t．

∴PQ＝，DQ＝10﹣t．

Ⅰ：DQ＝DP，10﹣t＝，

解得t＝8秒．

Ⅱ：DQ＝PQ，10﹣t＝

化简得：3t2﹣52t+180＝0

解得：t＝，t＝＞8(不合题意舍去)

∴t＝

第二种情况：8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t．

∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

第三种情况：10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10．

∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．