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【题目】如图1,点Ax轴上,OA4,将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置.

1)求经过AOB三点的抛物线的函数解析式;

2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以POB三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

3 )如图2OC4A的半径为2,点MA上的一个动点,求MC+OM的最小值.

【答案】1yx2x;(2)存在△POB为等腰三角形,符合条件的点P只有一个,坐标为(22);(3MC+OM的最小值为CK5

【解析】

1)设出抛物线解析式,利用待定系数法求出拋物线解析式即可

(2)设点P的坐标为(2y),分三种情况讨论,①OB=OP,②2OB=PB,③OP=PB,分别求出y的值,即可得出点P的坐

3)在OA上取点K,使AK1,连接CK交圆与点M,连接OMCM ,利用AKM∽△AMO ,求出MC+OMMC+KMCK即可解答

1)如图1,过点BBDx轴于点D

∴∠BDO90°

OA绕点O逆时针旋转120°OB

OBOA4,∠AOB120°B在第二象限,

∴∠BOD60°

sinBOD cosBOD

BD OB2 OD OB2

B(﹣22),

设过点A40),B(﹣22),O00)的抛物线解析式为yax2+bx+c

解得:

∴抛物线的函数解析式为y x2 x

2)存在POB为等腰三角形,

∵抛物线与x轴交点为A40),O0,0),

∴对称轴为直线x2

设点P坐标为(2p),

OP222+p24+p2BP2=(2+22+p2 2p24p+28

①若OPOB4,则4+p242

解得:p12p2=﹣2

p=﹣2时,∠POA60°,即点POB在同一直线上,

p2

P22),

②若BPOB4,则p24p+2842

解得:p1p22

P22);

③若OPBP,则4+p2p24p+28

解得:p2

P22);

综上所述,符合条件的点P只有一个,坐标为(22);

3)在OA上取点K,使AK1,连接CK交圆与点M,连接OMCM

此时,MC+ OMMC+KMCK为最小值,

理由:∵AK1MA2OA4

AM2AKOA,而∠MAO=∠OAM

∴△AKM∽△AMO,∴

即:MC+OMMC+KMCK

CK 5

即:MC+OM的最小值为CK5

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80

50

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95

60

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