Question

7．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB=∠BCP，PM为∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若∠CPB=30°，NC=3时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB是直径，得出∠CAB+∠ABC=90°，再由∠OCB=∠ABC，∠CAB=∠BCP，得出∠OCP=90°，即可证出PC为⊙O的切线；
（2）先证明△OBC为等边三角形，得出∠ABC=60°，∠CAB=30°，再由PM为∠CPB的角平分线，得出∠APM=15°，根据外角求出∠CMN=45°，MC=NC=3，根据勾股定理即可求出MN．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠CAB=∠BCP，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
即∠OCP=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC为⊙O的切线；

（2）解：∵∠CPB=30°，
∴∠COB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，
∵PM为∠CPB的角平分线，
∴∠APM=15°，
∴∠CMN=30°+15°=45°，
∴△CMN为等腰直角三角形，
∴MC=NC=3，
∴MN=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握切线的判定定理，并能进行有关推理计算是解决问题的关键．