Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AEB．

∵DF⊥AE，AE=BC，

∴∠AFD=90°，AE=AD．

∴△ABE≌△DFA；

∴AB=DF

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．

∴AB=DF=6．

在Rt△ADF中，AF= ，

∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2．

∴tan∠EDF= =

【解析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和锐角三角函数的定义的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数才能正确解答此题．