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如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且AC=CF,∠CBF=∠CFB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若点D,点E分别是弧AB的三等分点,当AD=5时,求BF的长;
(3)填空:在(2)的条件下,如果以点C为圆心,r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5,则r的取值范围为             
(1)证明见解析;(2)BF=10;(3)5?5<r<5+5.

试题分析:(1)欲证明直线BF是⊙O的切线,只需证明AB⊥BF;
(2)根据圆心角、弧、弦间的关系,等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形,所以在Rt△ABF中,∠ABF=90°,∠OAD=60°,AB=10,则利于∠A的正切三角函数的定义来求BF边的长度;
(3)根据已知条件知⊙O与⊙C相交.
(1)证明:如图,∵∠CBF=∠CFB,
∴CB=CF.    
又∵AC=CF,
∴CB=AF,
∴△ABF是直角三角形,
∴∠ABF=90°,即AB⊥BF.
又∵AB是直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:如图,连接DO,EO,
∵点D,点E分别是弧AB的三等分点,
∴∠AOD=60°.
又∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形,
∴OA=AD=OD=5,∠OAD=60°,
∴AB=10.
∴在Rt△ABF中,∠ABF=90°,BF=AB•tan60°=10,即BF=10
(3)如图,连接OC.则OC是Rt△ABF的中位线,
∵由(2)知,BF=10
∴圆心距OC=5
∵⊙O半径OA=5.
∴5?5<r<5+5.
故填:5?5<r<5+5.
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