Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，

∴△=22+4m＞0

∴m＞﹣1；

（2）解：∵二次函数的图象过点A（3，0），

∴0=﹣9+6+m

∴m=3，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，

令x=0，则y=3，

∴B（0，3），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，

∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）．

（3）解：根据函数图象可知：x＜0或x＞3．
【解析】（1）根据已知二次函数的图象与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，建立不等式，求解即可。
（2）利用待定系数法，根据点A的坐标即可求出此抛物线的函数解析式，再由y=0,求出抛物线与y轴的交点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后将抛物线和一次函数联立解方程组即可求得点P的坐标。
（3）观察函数图像，使一次函数值大于二次函数值，就是看一次函数图像高于二次函数的图像，即可得出x的取值范围。
【考点精析】关于本题考查的确定一次函数的表达式和抛物线与坐标轴的交点，需要了解确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．