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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,ACBCEAC边的中点,ADABBE延长线于点DCF平分∠ACBBD于点F,连接CD

求证:(1)ADCF

(2)点FBD的中点.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1) 根据等腰直角三角形的性质, 判定ΔADEΔCFE, 即可得出AD=CF;

(2) 先判定ΔACD≌ΔCBF, 得到CD=BF, ACD=CBF, 再依据∠DCF=DFC, 可得DC=DF, 即可得到点FBD的中点.

解:

1)∵EAC边的中点,

AECE

∵△ABC中,∠ACB=90°,ACBCCF平分∠ACB

∴∠BAC=45°=∠ECF

ADAB

∴∠DAC=45°=∠FCE

又∵∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE

ADCF

(2)∵ACCB,∠DAC=∠FCBADCF

∴△ACD≌△CBF

CDBF,∠ACD=∠CBF

∵∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠ACD+45°,∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°,

∴∠DCF=∠DFC

DCDF

BFDF,即点FBD的中点.

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