Question

14．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（4，a）（a＞4），半径为4，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为$2\sqrt{15}$，则⊙P的弦心距是1；a的值是4+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作PC⊥AB于C，PH⊥x轴于H，交直线y=x于D，作PE⊥y轴于E，连结PB，根据垂径定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{15}$，利用勾股定理可计算出PC=1，即⊙P的弦心距为1；由⊙P的圆心坐标得D点的横坐标为4，则D（4，4），可判断∠ODH=45°，于是易得△PCD为等腰直角三角形，所以PD=$\sqrt{2}$PC=$\sqrt{2}$，则PH=4+$\sqrt{2}$，即a=4+$\sqrt{2}$．

解答 解：作PC⊥AB于C，PH⊥x轴于H，交直线y=x于D，作PE⊥y轴于E，连结PB，如图，
∵PC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{15}$，
在Rt△PCB中，∵PB=4，BC=$\sqrt{15}$，
∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=1，
即⊙P的弦心距为1；
∵⊙P的圆心坐标是（4，a），
∴PE=OH=4，
∴D点的横坐标为4，
当x=4时，y=x=4，
∴D（4，4），
∴∠ODH=45°，
∴∠PDC=45°，
∴PD=$\sqrt{2}$PC=$\sqrt{2}$，
∴PH=4+$\sqrt{2}$，
即a=4+$\sqrt{2}$．
故答案为1，4+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．