Question

4．如图，△ABC内接于圆O，半径R=$\sqrt{2}$+1，圆I过O，且与AB、AC相切，圆I的半径r=1，求证：圆I是△ABC的内切圆．

Answer 1

分析 作直线OI交⊙O于EF，延长AI交⊙O于M，连接MC，BC，连接OM交BC于K，连接OC，根据切线性质得到AM平分∠BAC，设∠BAM=∠BCM=α，由三角函数的定义得到AI=$\frac{DI}{sinα}$，根据勾股定理得到CM=2（$\sqrt{2}$+1）sinα，求得IM=CM，根据等腰三角形的性质得到∠MIC=∠MCI，推出∠ACI=∠BCI，于是得到结论．

解答 解：作直线OI交⊙O于EF，延长AI交⊙O于M，连接MC，BC，连接OM交BC于K，连接OC，
∵⊙O与AB、AC相切，
∴AM平分∠BAC，
设∠BAM=∠BCM=α，
∴AI=$\frac{DI}{sinα}$，
∵AI•IM=EI•IF=（$\sqrt{2}$+1+1）$•\sqrt{2}$=2（$\sqrt{2}$+1），IM=2（$\sqrt{2}$+1）•sinα，
∵OM=OC=$\sqrt{2}$+1，KM=CM•sinα，KC=CM•cosα，
∵OK²+CK²=OC²，[（$\sqrt{2}$+1）-cm•sinα]²+CM²cos²α=（$\sqrt{2}$+1）²，（$\sqrt{2}$+1）²-2（$\sqrt{2}+$10•CM•sinα+CM²sin²α+CM²cos²α=（$\sqrt{2}$+1）²，
∵CM²sin²α+CM²cos²α=CM²，
∴CM=2（$\sqrt{2}$+1）sinα，
∴IM=CM，
∴∠MIC=∠MCI，
∴∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI，
∴∠ACI=∠BCI，
∴I是⊙I的内心，⊙I是△ABC的内切圆．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外切圆与外心，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．